野鳥の会の人がカウントに使うアレは「数取器（かずとりき）」といいます。
野鳥の会だけでなく、イベント会場や遊園地の入場整理の人や、交通量調査（交差点などで車や通行人の数をカウントする）の人が使っているので、皆さんも何度かお目にかかったことがあるかと思います。
また、昔は大晦日の紅白歌合戦の時に日本野鳥の会の人が紅白それぞれに投票した人の挙手の数をカウントするのに数取器を使ってカチカチやっていたので、「野鳥の会の人のアレ」というと30代以上の方には大体通じるかと思います。

ボタンをカシャっと一回押すと、歯車(?)が１コ進んでカウンターが一つ進む、という超単純な機械なので、大昔から文房具店で売っているものですが、最近は文房具店自体が少なくなってしまいました。
ストップウォッチみたいな形のデジタル式数取器も売っていますが、アナログ式の、ボタンをカシャカシャ押す時の感覚が心地良いので、趣味で買う分にはアナログ式がオススメです。
デジタル式のものはメモリー機能なども付いているようですので、何かを本気でカウントしたい人にはオススメかもしれません。

アナログ式もデジタル式も大体４桁表示（0000～9999）のものがほとんどです。
ボタンを押すのは人間なので、一万回くらいが集中力の限界なのかもしれません。

文房具店やホームセンターだけでなく、ダイソーなどの100均でも数取器を取扱っている店がありますが、最近、100均で衝動買いしたアナログ式の数取器は、何回か使っているうちにリセットボタンのつまみのところが壊れて、数字がきっちりゼロに戻らなくなってしまいました。
ネットで買う時は極端に安いもの（500円以下）は避けた方が無難かと思います。