ホットの飲み物が入った紙コップの外側につける、段ボールでできたアレ、正式名称は「ザーフ」というらしいですが、ネット通販では「カップスリーブ」または「ペーパースリーブ」という名前で売られています。
飲食の業務用品店にも置いているところがありますが、やはり「ザーフ」ではなく「カップスリーブ」「ペーパースリーブ」として売られています。
ちなみに「ペーパースリーブ」で検索すると、DVD-ROMとかを収納するペラペラの安物のアレも一緒に出てきます。

職場の紙コップで出てくる自販機のホットコーヒー（別に煎茶でもコーンスープでもいいですが）が熱すぎて手で持てない、ハンカチなどを巻いて持っている、という人は、マイカップスリーブを職場に常備しておくと良いと思います。
マイカップスリーブには、段ボールでできたものと、布製で繰り返し使えるものとがあります。
レザーでできた高級カップスリーブもあります。

自販機で使われている紙コップ自体、コストダウンのためか、昔と比べてかなり薄いものが多いような気がします。
そういったペナペナの紙コップの場合、普通に持つと熱すぎて持てないし、出てきてすぐは熱くて飲めないので、一番上の縁の部分を持ってそーっと持ち運ぶのですが、そういう場合に限って、あふれんばかりにたっぷりコーヒーが入っていたりして、火傷しそうでヒヤヒヤします。
最近は「持ち運びしやすいよう、入れる量を少なくしました」なんていうカップ自販機もありますが、いや、そうじゃないでしょ・・・

そういえば、カップラーメンとかの容器もいつの間にか発泡スチロール系のものから紙系のものに変わりましたね。お湯を入れると熱すぎて持つのに一苦労です。

スターバックスとかのホットコーヒーは大抵段ボールのカップスリーブ付きですが、ホットのドリンク専用の紙コップなんだし（アイスはプラスチックの容器）、紙コップもペーパースリーブもどっちも紙でできているんだから、紙コップをコストダウンしてカップスリーブ付けるよりは、カップスリーブ無しでも熱くなくて普通に手で持てる、もう少しグレードの高い紙コップ使った方が手間もかからずゴミも増えず、しかもトータルで安いと思うのですが、どうでしょうか。

ちなみにスターバックスのペーパースリーブの裏面には、紙コップから外れにくいよう、アマゾンの箱の仮止め用のベタベタしたアレと同じようなものが塗られています。

また、紙コップにかぶせる、飲み口の付いた蓋は、「トラベラーリッド」という正式名称です。
こちらは紙コップとセットになったものを買わないと、微妙に大きさが合わなかったりしますので要注意です。

マイカップスリーブをネットで買う場合、紙コップの大きさの表示がオンス（oz）単位の場合が多いので、サイズを間違えないように気をつけてください。
1オンス＝約30ml（cc）です。